CNC 2016 PSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2016, filière PSI, en 4 heures. Thème : Transformation d'Abel et convergence de séries, fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Problème 1, partie I : convergence des séries par transformation d'Abel. Écriture de la somme partielle de a_n b_n à l'aide des sommes B_n. Si (B_n) est bornée et (a_n) décroît vers 0, la série de a_n b_n converge.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles
• Problème 1, partie II : applications aux convergences de quelques types de séries. Séries alternées, puis séries de terme e^(inθ)/n^α, cos(nθ)/n^α et sin(nθ)/n^α selon la valeur de α : divergence, convergence, convergence absolue. On montre que la série des sin(nθ)/n^α n'est pas absolument convergente pour 0 < α <= 1, puis on traite la série de c_n/n^α quand la série de c_n converge.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes et trigonométrie
• Problème 1, partie III : une autre méthode pour montrer la convergence de quelques types de séries. Pour f continue, positive et décroissante, on définit phi_f(s), intégrale de e^(-st) f(t) sur [0, +infini[, et on compare série et intégrale par encadrement. On en tire la convergence de la série de e^(-ns) f(n), une limite et un équivalent en 0+ d'un reste de série, et une variante pour f croissante avec e^(-s^2 t).
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles
• Problème 2, partie I : cas particulier des variables aléatoires discrètes finies. Étude de M_X(t) = E(e^(tX)) et de phi_X(t) = ln(M_X(t))/t : classe C^infini, moments, prolongement en 0 et dérivée liée à la variance. La fonction phi_X caractérise la loi, elle est additive pour des variables indépendantes et impaire pour une variable symétrique. Pour une somme centrée réduite, on obtient la limite t/2.
• Problème 2, partie II : cas des variables aléatoires discrètes réelles infinies. L'ensemble de définition de M_X est un intervalle contenant 0. Pour M_X définie sur ]-a, a[, la dérivation terme à terme donne la classe C^infini et les moments. Application à l'espérance et à la variance de la loi de Poisson.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles
• Problème 2, partie III : cas des variables aléatoires à densité. Produit des fonctions génératrices pour deux variables indépendantes. Sous une hypothèse d'existence au voisinage de 0, on prouve l'existence des moments, le développement de M_X en série de terme E(X^k) t^k/k! et la relation entre dérivées en 0 et moments.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Nombres complexes et trigonométrie
• Intégration sur un intervalle quelconque

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