CCINP 2024 PC Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2024, filière PC, en 4 heures. Thème : Racines cubiques de matrices, fonction ln(Gamma) et temps d'attente avant une collision.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : racine cubique d'une matrice. Racines cubiques d'une matrice 2 x 2 diagonalisable, d'une rotation et d'une matrice orthogonale de déterminant -1, existence d'une racine cubique polynomiale pour une matrice diagonalisable, puis diagonalisabilité de toute racine cubique d'une matrice inversible diagonalisable.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Nombres complexes et trigonométrie
• Exercice 2 : la fonction ln(Gamma). Fonction C^1 vérifiant f(x+1) - f(x) = ln(x), à dérivée croissante et nulle en 1 : existence par une série de fonctions normalement convergente sur tout segment, unicité, puis formule de duplication à l'aide de la formule de Stirling.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Dérivabilité et convexité
• Exercice 3 : temps d'attente avant une collision. Tirages avec remise dans une urne de n boules jusqu'à la première répétition : espérance comme somme, écriture intégrale à l'aide de l'intégrale de t^k e^(-t), puis équivalent en racine de n grâce à l'intégrale de Gauss.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Nombres complexes et trigonométrie
• Séries numériques et vectorielles
• Dérivabilité et convexité
• Intégration sur un intervalle quelconque

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