CCINP 2021 PC Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2021, filière PC, en 4 heures. Thème : Urnes de Pólya, équation fonctionnelle f(x+1) + f(x) = 1/x^2 et méthode de Héron pour les matrices.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : les urnes de Pólya. Urne où l'on remet la boule tirée avec une boule de même couleur : chaque tirage suit la même loi de Bernoulli, prouvé par récurrence et probabilités totales, puis loi uniforme du nombre de boules d'une couleur dans le cas b = r = 1.
• Exercice 2 : résolution d'une équation fonctionnelle. Solution unique tendant vers 0 en +infini, écrite comme série alternée de fonctions (-1)^k/(x+k)^2 : convergence simple et uniforme, continuité, dérivabilité, monotonie, équivalent, puis expression intégrale sur ]0,1].
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque
• Exercice 3 : approximation d'une racine carrée par la méthode de Héron. Suite de fonctions de Héron convergeant vers la racine carrée avec majoration de l'erreur, racines carrées de matrices et racine symétrique positive d'une matrice symétrique, puis convergence de la suite de Héron matricielle.
  À revoir : Suites récurrentes, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Espaces vectoriels normés

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Suites récurrentes
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Espaces vectoriels normés

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