CCINP 2020 PC Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2020, filière PC, en 4 heures. Thème : Intégrale de Dirichlet, extremums d'une forme quadratique et marche aléatoire sur Z.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : calcul de l'intégrale de Dirichlet. Intégrale à paramètre F(x) de sin(t)e^(-xt)/t sur ]0,+infini[ : convergence par intégration par parties, dérivation sous le signe intégrale, expression de F sur ]0,+infini[, continuité en 0 et valeur de l'intégrale de sin(t)/t.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Exercice 2 : extremums d'une forme quadratique sur la boule unité fermée. Exemple en dimension 2 par paramétrage du cercle et points critiques, puis cas général : écriture X^T M X avec M symétrique réelle diagonalisable, encadrement par la plus petite et la plus grande valeur propre, et application en dimension n.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Espaces vectoriels normés
• Exercice 3 : retour à l'origine d'une marche aléatoire sur Z. Probabilité p_n d'être en 0 au temps n par une loi binomiale, fonction génératrice de (p_n) par série entière, loi du temps de premier retour T par produit de Cauchy, retour presque sûr et absence d'espérance.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Espaces vectoriels normés
• Séries numériques et vectorielles

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