Centrale-Supélec 2022 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2022, filière MP, en 4 heures. Thème : Dérivation des séries de fonctions : inégalités d'interpolation et séries aléatoires de Rademacher.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : inégalités d'interpolation des dérivées. Contrôle des dérivées intermédiaires d'une fonction de classe C^K sur [0,1] par ||f^(K)|| et les valeurs de f en K points : cas K = 1 et K = 2, puis cas général par interpolation de Lagrange, zéros des dérivées de f - P et inégalités successives.
• Partie II : dérivation C^K pour les séries de fonctions. Convergence normale des séries dérivées sous les hypothèses (H1) et (H2), sur [0,1] puis sur un segment quelconque, classe C^K de la somme. Application à une série de fonctions définies par f_n'' et deux conditions aux points 1 et 2.
• Partie III : convergence d'une série aléatoire de Rademacher. Pour une série de carrés a_n^2 convergente, construction d'une suite d'indices phi(j), espérance et variance des sommes par blocs, majoration de probabilité, inégalité maximale de Lévy. Conclusion par un événement de probabilité nulle, puis convergence presque sûre de la série des X_n a_n.
• Partie IV : dérivation C^K pour des séries aléatoires de fonctions. Comparaison des hypothèses (H2) et (H2'), puis événement de probabilité 1 sur lequel la somme des X_n f_n est de classe C^K, dérivable terme à terme, obtenu en retranchant des polynômes interpolateurs. Exemple d'entier K à donner pour une suite de fonctions explicite.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Dérivabilité et convexité
• Séries numériques et vectorielles
• Techniques fondamentales de calcul en analyse

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