Centrale-Supélec 2022 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2022, filière MP, en 4 heures. Thème : Exemples de contraintes symplectiques linéaires : formes et matrices symplectiques.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : préliminaires. Égalité de deux matrices déduite de X^T A Y = X^T B Y, valeurs propres de M^T M et existence d'une racine carrée symétrique à valeurs propres strictement positives.
• Partie II : objets symplectiques. Forme symplectique, omega-orthogonal et sa dimension par un isomorphisme vers L(E,R) et une application de restriction, parité de la dimension par la matrice antisymétrique de la forme, forme standard. Endomorphismes et matrices symplectiques : omega-orthogonalité des sous-espaces propres, condition M^T J M = J, structure de groupe et caractérisation par blocs.
• Partie III : déterminant d'une matrice symplectique réelle. Inclusion de Sp_n(R) dans SL_n(R) par deux méthodes. Première méthode : commutant de J et décomposition polaire, avec compacité de OSp_n(R). Seconde méthode : génération du groupe symplectique par au plus 2n transvections symplectiques, par récurrence sur un plan et son omega-orthogonal, avec en conséquence la connexité par arcs de Sp_n(R).
• Partie IV : exemples de problèmes de plongements symplectiques linéaires. Images de boules euclidiennes par des endomorphismes de déterminant 1, dans un cylindre puis dans une boule, avec majoration du module des valeurs propres et condition à trouver sur le rayon. Cas des endomorphismes symplectiques et théorème de non-tassement linéaire.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Structures algébriques usuelles (spé)
• Structures algébriques usuelles (sup)

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.