Centrale-Supélec 2024 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2024, filière MP, en 4 heures. Thème : Inégalité de Carleman : inégalité de Knopp, optimisation sous contrainte et raffinement de Carleman-Yang.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : inégalité de Knopp. Inégalité intégrale de Jensen par des sommes de Riemann, étude de g(x) = (1/x) fois l'intégrale de t f(t) sur [0,x] et de ses limites, intégrale de h = g/x, puis inégalité de Knopp. Application à la fonction en escalier d'une suite décroissante pour obtenir l'inégalité de Carleman, et levée de l'hypothèse de décroissance.
• Partie II : inégalité de Carleman. Inégalité arithmético-géométrique par extremum sous contrainte : gradients, existence d'un maximum, condition sur le point optimal. Même méthode pour F_n sur l'hyperplan x_1 + ... + x_n = 1 : système vérifié au maximum, raisonnement par l'absurde sur lambda, conclusion pour les séries.
• Partie III : inégalité de Carleman-Yang. Prolongement de (1 - t)^(1 - 1/t) en 0, suite (b_n) définie par récurrence et rayon de convergence, développement en série entière par une équation vérifiée par la dérivée et le calcul des dérivées successives en 0. Inégalité à poids c_n, choix de c_n, positivité des b_n et comparaison avec l'inégalité de Carleman.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Dérivabilité et convexité
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Techniques fondamentales de calcul en analyse

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