Centrale-Supélec 2020 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2020, filière MP, en 4 heures. Thème : Fonctions arithmétiques multiplicatives et applications : convolution, matrices de permutation, matrice de Redheffer.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : convolution, fonction de Möbius, déterminant de Smith, séries de Dirichlet. Propriétés du produit de convolution f * g sur les fonctions arithmétiques, stabilité des fonctions multiplicatives et inverse d'une telle fonction, fonction de Möbius, formule d'inversion et relation phi = mu * I pour l'indicatrice d'Euler. Calcul du déterminant de la matrice de terme général f(i pgcd j) par factorisation, puis abscisse de convergence d'une série de Dirichlet, unicité des coefficients et formule L_{f*g} = L_f L_g.
• Partie II : matrices et endomorphismes de permutation. Preuve que P_sigma et P_tau sont semblables si et seulement si sigma et tau sont conjuguées : type cyclique, polynôme caractéristique d'une matrice de cycle, multiplicité des racines et matrice des diviseurs. Caractérisation des endomorphismes de permutation par la diagonalisabilité, la trace, le cas u^k = Id pour k = 2, 3, 4, la forme du polynôme caractéristique et les traces Tr(u^k).
• Partie III : valeurs propres de la matrice de Redheffer. Calcul de det H_n à l'aide de la fonction de Mertens par un produit de matrices, expression du polynôme caractéristique de H_n par une fonction arithmétique définie par récurrence. Passage par les séries de Dirichlet et les nombres D_k(m) de décompositions d'un entier en k facteurs, jusqu'à la multiplicité de la valeur propre 1, égale à n - partie entière de log_2(n) - 1.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs
• Structures algébriques usuelles (spé)
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Structures algébriques usuelles (sup)
• Séries numériques et vectorielles
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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