Centrale-Supélec 2020 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2020, filière MP, en 4 heures. Thème : Espaces à noyau reproduisant : opérateur intégral, valeurs propres et exemples.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : sous-espaces stables et vecteur propre. Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme vérifiant <u(x),y> = <x,u(y)>, puis preuve qu'un vecteur unitaire réalisant le sup de <u(x),x> sur F est vecteur propre, par la dérivée en 0 d'une fonction auxiliaire.
• Partie II : étude d'un opérateur. Opérateur intégral T de noyau continu k_s sur les fonctions continues de [0,1] : continuité, action sur les polynômes, relation T(f)'' = -f, injectivité et image. Recherche des valeurs propres par une équation différentielle, famille orthonormale des sqrt(2) sin(k pi x), orthogonal réduit à {0}, puis expression de T(f) comme somme de série.
• Partie III : exemples d'espaces à noyau reproduisant. Produit scalaire des dérivées sur les fonctions continues, C^1 par morceaux et nulles au bord, majoration de |f(x)| et identification du noyau, contre-exemple du produit scalaire L^2 sur les fonctions continues. Espace de séries entières à coefficients de carré sommable, rayon de convergence et noyau à préciser, puis noyaux min(x,y) et min(phi(x),phi(y)), ce dernier avec un produit scalaire à déterminer.
• Partie IV : quelques résultats sur les espaces à noyau reproduisant. Norme de l'évaluation V_x égale à sqrt(<k_x,k_x>), continuité des fonctions de E lorsque K est continu. Construction d'un espace à noyau reproduisant sur Im T à partir d'un opérateur intégral de noyau A, avec la réciproque de l'isomorphisme induit par T de (ker T)^perp sur Im T.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Équations différentielles linéaires
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Séries numériques et vectorielles
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres complexes et trigonométrie

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