Centrale-Supélec 2026 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2026, filière MP, en 4 heures. Thème : Fonction zeta de Riemann : condition suffisante de non-annulation sur Re(s) > 1/2 par la géométrie des fonctions f_k.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie A : questions préliminaires. Fonction zeta sur ]1, +infini[ : convergence normale, continuité, signe. Cas complexe : convergence absolue, produits S_n(s) sur les nombres premiers, nature de la série des 1/p_i^x et non-annulation pour Re(s) > 1. Calcul d'une intégrale de |t^(s-1)|^2 et étude géométrique des ensembles Delta_d et de leur intersection.
• Partie B : étude analytique. Fonctions f_k(t) = (1/k) E(1/t) - E(1/(kt)), où E désigne la partie entière : valeurs, encadrement, intégrabilité, transformée de Mellin exprimée à l'aide de zeta(s). Prolongement de zeta à Re(s) > 0 par une série G(s), comportement en 1, et égalité de l'intégrale de f_k sur ]0,1] avec ln(k)/k.
• Partie C : étude algébrique et géométrique. Espace L^2 des fonctions continues par morceaux de carré intégrable sur ]0,1], vrai ou faux sur les inclusions, forme bilinéaire symétrique positive. Relations entre coefficients d'une combinaison nulle des f_k par évaluations bien choisies, produit scalaire sur F, famille orthonormale (e_k) et distance d_n de la fonction 1 à Vect(f_2, ..., f_n).
• Partie D : synthèse. Inégalité de Cauchy-Schwarz à valeurs complexes appliquée à la transformée de Mellin, puis inégalité d_n^2 |s|^2 >= 2 Re(s) - 1 en un zéro s supposé de zeta. Conclusion par l'absurde lorsque d_n tend vers 0.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs
• Nombres réels et suites numériques
• Nombres complexes et trigonométrie
• Dérivabilité et convexité

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