Centrale-Supélec 2025 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2025, filière MP, en 4 heures. Thème : Étude d'un modèle probabiliste de ferromagnétisme : spectres de matrices d'interaction et magnétisation.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie A : étude du spectre de la matrice d'interaction. Encadrement de l'énergie par les valeurs propres extrêmes, spectre de la matrice de Curie-Weiss, matrice sinus orthogonale symétrique, matrice cyclique du modèle d'Ising avec polynôme annulateur et valeurs propres 2 cos(2 pi k/n). Python : fonction mat_adj donnant la matrice d'adjacence d'un graphe décrit par un dictionnaire de listes d'adjacence ; spectre du produit de Kronecker de deux matrices diagonalisables et modèle d'Ising bidimensionnel.
• Partie B : étude de la convergence de la magnétisation. Modèle d'Ising : Z_n(h) = tr(A^n), limite de psi_n par les valeurs propres de A, magnétisation spontanée. Modèle de Curie-Weiss : représentation intégrale de Z_n(h), étude du minimum de G_h selon la position de beta par rapport à 1, limite de psi_n par un changement d'échelle dans l'intégrale, puis loi limite de n^(1/4) M_n au point critique à l'aide de fonctions lipschitziennes.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Nombres complexes et trigonométrie
• Dérivabilité et convexité
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Bases de Python : expressions, types, instructions, fonctions
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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