Centrale-Supélec 2023 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2023, filière MP, en 4 heures. Thème : Intégrales, inégalité maximale et théorème central limite pour une marche aléatoire symétrique.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : résultats préliminaires. Intégrales de 1/(1 + t^2)^n sur [0,1] et [0,+infini[ : majoration du reste, relation de récurrence, équivalent, puis valeur de l'intégrale de exp(-u^2). Équivalent de 1 - Phi(x) en +infini par un encadrement, et preuve de l'inégalité P(max |R_p| >= 3x) <= 3 max P(|R_p| >= x) pour des sommes de variables indépendantes.
• Partie II : étude d'une suite de fonctions. Fonctions en escalier B_n construites sur les coefficients binomiaux normalisés, convergence uniforme sur R vers phi(x) = exp(-x^2/2)/sqrt(2 pi) : parité, décroissance sur R+, développement asymptotique de B_n(x_n,k) par la formule de Stirling, contrôle sur [0, l] puis en dehors.
• Partie III : applications. Limite d'intégrales à bornes variables pour une suite uniformément convergente, théorème central limite pour la marche aléatoire symétrique S_n sur Z par écriture de la loi à l'aide de B_n, puis critère de tension sur max |S_p| avec l'inégalité de la partie I.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse

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