Centrale-Supélec 2023 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2023, filière MP, en 4 heures. Thème : Sur le calcul ombral : endomorphismes de K[X] et suites de polynômes.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : étude d'endomorphismes de K[X]. Translation E_a, opérateur J de moyenne sur [x, x+1] et opérateur L défini par une intégrale de exp(-t) p'(x+t) sur [0, +infini[ : linéarité, conservation du degré, inversibilité.
• Partie II : formule de Taylor pour les endomorphismes shift-invariants de K[X]. Sous-algèbre des endomorphismes shift-invariants, écriture T = somme des (T q_k)(0) D^k, commutativité et application à E_a, J, L. Degré de T p, noyau, critères d'inversibilité, puis endomorphismes delta : factorisation T = D o U, noyau, spectre, diagonalisabilité des restrictions et surjectivité.
• Partie III : suite de polynômes associée à un endomorphisme delta. Existence et unicité de la suite (q_n), identité q_n(x + y) = somme des q_k(x) q_(n-k)(y) et réciproque, base de K_n[X] et matrice de l'endomorphisme induit avec trace, déterminant et polynôme caractéristique. Exemples, formule de Taylor généralisée et formule de dérivation numérique des polynômes.
• Partie IV : un peu de calcul ombral. Dérivée de Pincherle T' = T(Xp) - X T(p) : expression sur les séries en D, règle de composition, formules donnant q_n à partir de Q' et de U. Application à L et aux polynômes de Laguerre de paramètre -1 : relations de récurrence, équation différentielle, forme explicite, puis opérateurs ombraux W et T et formule de duplication.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Structures algébriques usuelles
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Dérivabilité et convexité

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