Centrale-Supélec 2021 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2021, filière MP, en 4 heures. Thème : La loi du demi-cercle : spectre des grandes matrices symétriques aléatoires.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : inégalité de Hoffman-Wielandt. Invariance de la norme euclidienne canonique par multiplication par des matrices orthogonales, réécriture de ||A - B||_F^2 sur les valeurs propres de deux matrices symétriques. Minimum d'une fonction linéaire sur les matrices bistochastiques, atteint en la matrice identité, d'où l'inégalité entre valeurs propres ordonnées.
• Partie II : dénombrement des mots bien parenthésés. Nombre C_n de mots bien parenthésés de longueur 2n : premières valeurs, majoration, rayon de convergence et relation de récurrence par un raisonnement combinatoire. Équation fonctionnelle de la série génératrice F, développement en série entière de sqrt(1 - u) et expression de C_n par des factorielles.
• Partie III : loi du demi-cercle, cas uniformément borné. Moments de la loi par changement de variable et intégration par parties, puis limite de l'espérance de la moyenne des puissances des valeurs propres normalisées : trace de M_n^k, dénombrement de cycles classés selon la répétition des arêtes, codage de ces cycles par des mots bien parenthésés. Passage des polynômes aux fonctions continues bornées par un contrôle des valeurs propres de module au moins A.
• Partie IV : loi du demi-cercle, cas général. Troncature et renormalisation des variables X_ij, convergence en moyenne quadratique des variables tronquées, écart entre les deux spectres pour une fonction lipschitzienne à l'aide de la partie I, puis extension aux fonctions continues bornées.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Séries numériques et vectorielles
• Techniques fondamentales de calcul en analyse

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