Centrale-Supélec 2026 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2026, filière MP, en 4 heures. Thème : Sur quelques sous-groupes de GL_n(R) : sous-groupes finis, sous-groupes compacts, groupe de Heisenberg discret.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie A : sous-groupes finis de O_n(R). Exposant et trace d'un groupe, rotations R_theta et symétries S_theta, sous-groupes engendrés, sous-groupes finis de SO_2(R) et de O_2(R), groupe D_m. Preuve de l'équivalence entre G fini, G d'exposant fini et tr G fini pour un sous-groupe de O_n(R), par le théorème de réduction des matrices orthogonales et une base de l'espace engendré par G.
• Partie B : sous-groupes compacts de GL_n(R). Produit scalaire associé à une matrice symétrique définie positive, comparaison de deux matrices symétriques par (BX|X) <= (AX|X) et lien avec les boules unités, stricte concavité de ln(det) sur S_n^++(R). Groupe orthogonal O(A), compacité, puis matrice A de déterminant maximal associée à un sous-groupe compact G, avec G inclus dans O(A), d'où G isomorphe à un sous-groupe de O_n(R).
• Partie C : croissance du groupe de Heisenberg discret. Longueur d'un élément relativement à une partie génératrice, groupe à croissance polynomiale de degré d et indépendance vis-à-vis des générateurs, cas de Z^3 par dénombrement. Groupe H engendré par trois matrices 3 x 3 : calculs de S^i T^j U^k, commutation, bijection avec Z^3, encadrement de |V_A(p)|, équivalent d'une somme et degré de croissance 4.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Structures algébriques usuelles (spé)
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Structures algébriques usuelles (sup)
• Nombres complexes et trigonométrie
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Dérivabilité et convexité
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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