Centrale-Supélec 2025 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2025, filière MP, en 4 heures. Thème : Irrationalité de zeta(2) : encadrement de pi(x), majoration d'un PPCM et intégrales doubles.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie A : un encadrement de la fonction pi. Majoration du produit des nombres premiers au plus égaux à n, encadrement du coefficient binomial central, formule donnant la valuation p-adique d'une factorielle. Preuve de l'encadrement de pi(x) entre (ln(2)/6) x/ln(x) et 4 x/ln(x) pour x >= 3.
• Partie B : une majoration d'un PPCM. Définition du PPCM de r entiers par l'intersection des a_i Z, calcul de d_n = PPCM(1, ..., n) comme produit de puissances de nombres premiers, majoration de d_n par n^pi(n), puis par 3^n pour n grand à l'aide du théorème des nombres premiers admis.
• Partie C : un critère d'irrationalité. Critère d'irrationalité par approximations rationnelles p_n/q_n, application à la somme des 1/10^(factorielle de n), écriture des sommes partielles de zeta(2) avec le dénominateur d_n^2 et examen de la possibilité d'appliquer le critère.
• Partie D : calcul d'une intégrale double. Intégrale double J_r,s de x^r y^s/(1 - xy) sur ]0,1[^2 : intégrabilité, continuité, écriture en somme de série, décomposition en éléments simples et forme de quotient dont le dénominateur divise d_r^2.
• Partie E : une démonstration de l'irrationalité de zeta(2). Polynôme P_n dérivée n-ième de x^n (1 - x)^n divisée par factorielle de n, intégrale I_n écrite sous la forme (p_n + zeta(2) q_n)/d_n^2, transformation de I_n et majoration de |I_n|. Conclusion sur zeta(2), puis sur pi.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Structures algébriques usuelles
• Dérivabilité et convexité
• Nombres réels et suites numériques
• Techniques fondamentales de calcul en analyse

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