Centrale-Supélec 2021 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2021, filière MP, en 4 heures. Thème : Inégalités de Bernstein : polynômes trigonométriques, Tchebychev et transformée de Fourier.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : inégalité polynomiale de Bernstein et applications. Polynômes de Tchebychev : degré, base, T_n(cos t) = cos(nt), normes de T_n et T_n' sur [-1,1]. Formule d'interpolation aux racines de X^(2n) + 1, inégalité |f'| <= n ||f|| pour les polynômes trigonométriques de degré n, puis majoration de ||P'|| par n^2 ||P|| sur [-1,1], avec étude du cas d'égalité.
• Partie II : inégalités de Bernstein et transformée de Fourier. Transformée de Fourier d'une fonction intégrable : continuité, application linéaire continue de L^1 vers L^infini, effet d'une dilatation. Produit de convolution : majoration et régularité. Construction d'une fonction plateau de classe C^infini, puis, avec les formules d'inversion admises, inégalité ||f'|| <= C lambda ||f|| pour f dont la transformée est nulle hors de [-lambda, lambda].

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Nombres complexes et trigonométrie
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Dérivabilité et convexité
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Techniques fondamentales de calcul en analyse

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