Centrale-Supélec 2024 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2024, filière MP, en 4 heures. Thème : Équation fonctionnelle f(x + 1) - f(x) = h(x) : différence finie, fonctions entières et polynômes de Bernoulli.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : étude de l'opérateur différence finie. Endomorphisme Delta de K[X] : degré de Delta(P), endomorphisme induit sur K_d[X], noyau et image, solutions polynomiales de l'équation lorsque h est polynomiale, cas h(x) = x. Polynôme annulateur et diagonalisabilité de Delta_d.
• Partie II : fonctions entières. Stabilité de l'ensemble des fonctions développables en série entière de rayon infini, coefficients obtenus par une intégrale sur le cercle unité. Étude de l'intégrale I_p à l'aide d'un développement de 1/(exp(z) - 1) sur le cercle, valeurs de I_0 et I_p pour p >= 1.
• Partie III : polynômes de Bernoulli. Définition de B_n par une intégrale, polynôme unitaire de degré n, relations B_n' = n B_(n-1) et B_n(z + 1) - B_n(z) = n z^(n-1), solution polynomiale de l'équation. Caractérisation par unicité, symétrie, puis lien avec les dérivées en x de la fonction u(x,t) = psi(x) exp(tx).
• Partie IV : solution entière de l'équation. Minoration de |exp(z) - 1| sur les cercles de rayon (2n + 1)pi par un raisonnement par l'absurde. Fonctions Q_n définies par une intégrale sur ces cercles, relation fonctionnelle, majoration et existence d'une solution entière lorsque h est entière.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Nombres complexes et trigonométrie
• Séries numériques et vectorielles
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Dérivabilité et convexité
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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