Centrale-Supélec 2023 PSI Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2023, filière PSI, en 4 heures. Thème : Endomorphismes de M_n(R) qui conservent le rang, le déterminant ou le polynôme caractéristique.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : résultats préliminaires. Matrice d'une composée et changement de bases, puissances d'une matrice sur un vecteur propre, valeurs propres et racines d'un polynôme annulateur.
• Partie II : étude de quelques endomorphismes de M_n(R). Multiplication à gauche Gamma_A : linéarité et injectivité de l'application qui à A associe Gamma_A, polynômes, diagonalisabilité, polynômes annulateurs et spectre. Applications qui à M associent PMQ et PM^T Q, ensembles L_1 et L_2 : stabilité par composition, automorphismes et réciproques, conservation du rang, du déterminant et du polynôme caractéristique, place de la transposition.
• Partie III : endomorphismes de rang donné. Matrice d'un endomorphisme dans deux bases adaptées, forme M = P J_n,r Q d'une matrice de rang r, et réduction simultanée de deux matrices de rang 1 de M_2(R) d'images distinctes.
• Partie IV : endomorphismes de M_2(R) conservant le rang. Matrice et éléments propres de la transposition dans la base canonique, matrice par blocs de l'application qui à M associe PMQ, puis étude colonne par colonne d'un endomorphisme conservant le rang, par des considérations de rang et de déterminant, jusqu'à son appartenance à L_1 ou L_2 selon les cas.
• Partie V : endomorphismes de M_n(R) conservant le déterminant ou le polynôme caractéristique. Conservation du déterminant et du rang en taille 2 par calcul de det(A + N), propriétés de la trace, produit scalaire tr(A^T B), matrice A telle que tr(AM) = 0 pour tout M, puis caractérisation des endomorphismes conservant le déterminant et de ceux conservant le polynôme caractéristique.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Espaces vectoriels normés
• Logique, ensembles et applications

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