Centrale-Supélec 2023 PSI Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2023, filière PSI, en 4 heures. Thème : Quelques applications de la formule de Stirling : intégrale de Gauss, raffinement de la formule, marches aléatoires sur Z et loi de l'arcsinus.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : intégrale de Gauss. Calcul de l'intégrale de exp(-t^2) sur [0, +infini[ à l'aide de deux fonctions f et g définies par des intégrales : parité, classe C^1, changement de variable affine et relation entre f et g.
• Partie II : formule de Stirling. Intégrales I_n de t^n exp(-t), démonstration de la formule de Stirling par convergence simple et domination d'une suite de fonctions, avec la fonction q(x) = (x - ln(1 + x))/x^2. Raffinement en facteur (1 + 1/(12n) + q_n/n) par une série de terme général équivalent à 1/(12n^2), équivalent des restes de séries positives et comparaison à une intégrale.
• Partie III : étude de deux séries entières et application à une marche aléatoire. Marche sur un axe gradué, avec p et q = 1 - p : espérance et variance de S_n, fonction Python qui compte les retours à l'origine, séries entières A et B des probabilités de retour et de premier retour, rayon de convergence, relation entre A et B, et probabilité |p - q| de ne jamais revenir en 0.
• Partie IV : loi de l'arcsinus. Marche symétrique, dénombrement de chemins, principe de réflexion, loi de la dernière visite en 0 sur 2n pas, sommes de Riemann adaptées, développement du coefficient binomial central issu de la partie II et limite de P(T_2n/(2n) dans [alpha, beta]).

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Dérivabilité et convexité
• Bases de Python : expressions, types, instructions, fonctions
• Limites et continuité

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