Centrale-Supélec 2021 PSI Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2021, filière PSI, en 4 heures. Thème : Autour des fonctions hypergéométriques : suites et séries hypergéométriques, fonction Gamma, polynômes de Laguerre, loi hypergéométrique.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : suites et séries hypergéométriques. Définition par une relation P(n) u_n = Q(n) u_(n+1), exemples des suites géométriques et des coefficients binomiaux, espace vectoriel des suites vérifiant une telle relation, avec base et dimension, cas d'une suite nulle à partir d'un certain rang.
• Partie II : extension de la factorielle. Fonction Gamma sur ]0, +infini[ : existence de l'intégrale, continuité, positivité, relation Gamma(x + 1) = x Gamma(x) et valeurs aux entiers.
• Partie III : fonctions hypergéométriques. Symbole de Pochhammer, fonction de Gauss F_a,b,c : rayon de convergence, dérivées successives, expression de deux fonctions usuelles, identité de Vandermonde et son interprétation combinatoire. Solutions développables en série entière de xy'' + (c - x)y' - ay = 0 et fonction confluente M_a,c.
• Partie IV : les polynômes de Laguerre. Polynômes L_n définis à partir de la dérivée n-ième de exp(-x) x^n : premiers termes, coefficients par la formule de Leibniz, relations entre L_(n+1), L_n et leurs dérivées, équation différentielle vérifiée et lien avec les fonctions confluentes.
• Partie V : loi hypergéométrique. Loi H(n, p, A) : espérance, fonction génératrice, modélisation par tirages dans deux urnes, sans et avec remise, calcul de la variance par des variables indicatrices, comparaison des deux modèles et limite de P(X = k) quand A tend vers +infini.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Dérivabilité et convexité
• Séries numériques et vectorielles
• Équations différentielles linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres réels et suites numériques

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