Centrale-Supélec 2026 PSI Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2026, filière PSI, en 4 heures. Thème : Polynômes de Jacobi : produit scalaire à poids, formule de Vandermonde, orthogonalité et polynômes de Legendre.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie A : un produit scalaire. Convergence d'intégrales de référence et produit scalaire à poids (1 - t)^alpha (1 + t)^beta sur R[X], avec calculs de produits scalaires et de normes dans les cas alpha = beta = -1/2 et alpha = beta = 0.
• Partie B : autour des coefficients binomiaux. Démonstration de la formule de Vandermonde par un dénombrement et introduction des coefficients généralisés B_l^lambda pour un réel lambda.
• Partie C : une famille de polynômes. Base orthonormale (P_0, ..., P_n) obtenue par Gram-Schmidt : degré, orthogonalité à Vect(1, ..., X^(k-1)), relation entre P_(k-1), P_k et P_(k+1), puis étude du nombre de racines de P_k dans ]-1, 1[ par le signe de P_k S.
• Partie D : polynômes de Jacobi. Polynômes J_k définis par la dérivée k-ième de g_k : dérivées de (1 - x)^j, formule de Leibniz, expression explicite, degré et coefficient dominant avec la formule de Vandermonde, intégrations par parties et orthogonalité de la famille (J_0, ..., J_n).
• Partie E : le cas particulier (alpha, beta) = (0, 0). Polynômes de Legendre L_k : premiers termes et racines, degré, parité, valeurs en 1 et -1, équation différentielle (1 - x^2)y'' - 2xy' + k(k + 1)y = 0, majoration sur [-1, 1], relation de récurrence à trois termes et somme de la série entière des L_k(x) t^k.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Espaces vectoriels normés
• Dérivabilité et convexité
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Équations différentielles linéaires
• Séries numériques et vectorielles

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