Centrale-Supélec 2025 PSI Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2025, filière PSI, en 4 heures. Thème : Attribution d'une valeur à des séries divergentes : formule d'Euler-Maclaurin, constante de Ramanujan et développements tayloriens généralisés.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie A : deux approches pour une valeur à 1 + 2 + ... + n + .... Somme de exp(-nx), dérivation et développement limité en 0 pour étudier la somme de n exp(-nx) moins 1/x^2. Fonction phi de classe C^infini à support compact, généralisation du théorème des sommes de Riemann, formule de Taylor avec reste intégral et développement asymptotique de la somme de n phi(nx) quand x tend vers 0.
• Partie B : les sommes infinies au sens de Ramanujan. Polynômes B_p définis par B_p' = p B_(p-1) et une condition d'intégrale, symétrie, fonctions périodiques associées, intégrations par parties et formule d'Euler-Maclaurin. Constante de Ramanujan C_p : définition, indépendance de p, calcul pour les fonctions 1, k et k^2, et expression comme limite lorsque (f(n)) tend vers 0.
• Partie C : développements tayloriens généralisés. Forme linéaire continue phi sur C([0,1]) pour la norme uniforme et suite de polynômes P_n associée : existence, majoration, série génératrice S(x, t), formules de Taylor généralisées et cas de la forme qui à g associe g(0). Polynômes d'Euler pour phi(g) = (g(0) + g(1))/2, symétrie et formule d'Euler-Boole pour une somme alternée.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Dérivabilité et convexité
• Nombres réels et suites numériques
• Espaces vectoriels normés
• Équations différentielles linéaires
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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