Centrale-Supélec 2020 PSI Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2020, filière PSI, en 4 heures. Thème : Les fonctions de Lambert : propriétés, modélisation probabiliste, développement en série entière et approximation.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : fonctions de Lambert. Réciproques W et V de x exp(x) sur [-1, +infini[ et sur ]-infini, -1] : bijection, régularité, équivalents de W en 0 et en +infini, tracé et tangentes, intégrabilité de x^alpha W(x), résolution à l'aide de V et W des équations x exp(x) = m et exp(ax) + bx = 0 et de l'inéquation x exp(x) <= m.
• Partie II : probabilités. Deux situations où une condition P(X >= 2) <= 1 - alpha se ramène à une inégalité sur x exp(x) : nombre de succès parmi N essais, N suivant une loi de Poisson, puis nombre d'inversions de bits dans un bloc de r bits transmis sur un canal. Loi, espérance et variance de X, inégalité de Markov, recherche du plus grand p ou du plus grand r admissible à l'aide de V ou W.
• Partie III : développement en série entière. Théorème binomial d'Abel établi à l'aide de la base des polynômes A_k = X(X - ka)^(k-1)/(factorielle de k), puis série entière de coefficients a_n = (-n)^(n-1)/(factorielle de n) : rayon de convergence R, régularité, continuité sur [-R, R], relation x(1 + S(x))S'(x) = S(x) vérifiée par la somme S, résolution de xy' - y = 0 et identification de la somme à W sur ]-R, R[, avec la question du comportement sur [-R, R].
• Partie IV : approximation de W. Suite de fonctions définie par w_0 = 1 et w_(n+1)(x) = phi_x(w_n(x)), avec phi_x(t) = x exp(-x exp(-t)) : point fixe, majoration de la dérivée, estimation de |w_n(x) - W(x)| par (x/e)^n, convergence uniforme sur [0, a] pour a < e, et étude de la convergence uniforme sur [0, e].

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Limites et continuité
• Dérivabilité et convexité
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Équations différentielles linéaires
• Séries numériques et vectorielles
• Suites récurrentes
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse

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