Centrale-Supélec 2020 PSI Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2020, filière PSI, en 4 heures. Thème : Erreurs d'un processus industriel : loi de Poisson, théorème de Perron-Frobenius et inégalité pour les chaînes de Markov.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : cas de la loi de Poisson. Somme S_n de variables indépendantes de loi de Poisson de paramètre 1/2 : indépendance, fonction génératrice, loi de S_n, série de fonctions normalement convergente, passage à la limite et équivalent de P(S_n > n), puis formule de Stirling pour obtenir P(S_n > n) = O(alpha^n).
• Partie II : quelques résultats sur les matrices. Matrices strictement positives et rayon spectral rho(A) : démonstration que rho(A) est valeur propre dominante, de sous-espace propre de dimension 1 dirigé par un vecteur strictement positif, convergence des puissances de A/rho(A) appliquées à un vecteur positif vers un projeté, trigonalisation de A^k et limite de tr(A^(k+1))/tr(A^k).
• Partie III : une inégalité pour les chaînes de Markov. Chaîne de Markov homogène sur {0, ..., N}, matrice de transition, lois des X_n, fonction de taux lambda(t) = ln(gamma(t)) définie par une valeur propre dominante. Écriture d'une fonction Python puiss2k et explication d'une fonction maxSp avec numpy, inégalité de Markov appliquée à exp(t S_n) et majoration de P(S_n >= nam), interprétation et application numérique sur un tableau de valeurs.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Espaces vectoriels normés
• Séries numériques et vectorielles
• Bases de Python : expressions, types, instructions, fonctions
• Nombres complexes et trigonométrie
• Nombres réels et suites numériques
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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