Centrale-Supélec 2024 PSI Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2024, filière PSI, en 4 heures. Thème : Intégrale de Gauss et applications : équation différentielle, polynômes d'Hermite, endomorphisme autoadjoint et famille totale.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : intégrale de Wallis et intégrale de Gauss. Monotonie et relation de récurrence des intégrales de Wallis W_n, équivalent, limite de l'intégrale de (1 - x^2/n)^n sur [0, sqrt(n)], changement de variable x = sqrt(n) sin(u) et valeur des intégrales I et J de exp(-x^2).
• Partie II : autour d'une équation différentielle. Solutions développables en série entière de xy'' + y' + xy = 0, unicité de celle qui vaut 1 en 0, puis fonction G(x) = (1/pi) fois l'intégrale de cos(x sin(t)) sur [0, pi] : régularité, équation vérifiée et identification avec la série entière.
• Partie III : étude d'un endomorphisme sur un espace préhilbertien. Polynômes d'Hermite H_n : relation de récurrence, degré, parité, coefficient dominant. Produit scalaire à poids exp(-x^2), base orthogonale de R_n[X] et norme de H_n, endomorphisme u(P) = -P'' + 2XP' + P et commutateur avec v, vecteurs propres, caractère autoadjoint de u_n et base orthonormale de vecteurs propres.
• Partie IV : une famille totale. Transformation de Fourier F sur E, admise injective : intégrabilité, moments M_p de x^(2p) exp(-x^2), développement en série entière de F(f), et preuve que l'orthogonal de vect(H_n, n dans N) est réduit à {0}.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Espaces vectoriels normés
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Dérivabilité et convexité
• Séries numériques et vectorielles
• Équations différentielles linéaires

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