Centrale-Supélec 2022 PSI Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2022, filière PSI, en 4 heures. Thème : Matrices nilpotentes, matrices aléatoires à coefficients dans {-1, 1} et familles de vecteurs unitaires presque orthogonales.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : quelques propriétés des matrices nilpotentes. Trace, produit scalaire tr(A^T B) sur M_n(R), valeurs propres, trace et déterminant d'une matrice nilpotente, produits et sommes de matrices nilpotentes, caractérisation en taille 2, cas symétrique et antisymétrique, contre-exemple pour n >= 3.
• Partie II : matrices aléatoires à coefficients dans {-1, 1}. Résultats sur les familles liées et sur le nombre de colonnes à coefficients dans {-1, 1} contenues dans un sous-espace, loi R à valeurs dans {-1, 1}. Matrice M_n à coefficients indépendants de loi R : espérance et variance de la trace et du déterminant, probabilités pour n = 2 d'être nilpotente ou inversible, système complet d'événements sur les colonnes et minoration de la probabilité d'inversibilité pour tout n.
• Partie III : un autre procédé de construction de matrices aléatoires. Suite de matrices A_k où chaque coefficient égal à 1 devient -1 avec la probabilité p. Écriture en Python avec numpy de fonctions qui modifient la matrice, comptent les étapes pour passer de A_0 à -A_0 et estiment leur nombre moyen.
• Partie IV : vecteurs aléatoires unitaires. Paramètre de cohérence C(u) d'une suite de vecteurs unitaires, inégalité ch(t) <= exp(t^2/2), espérance de exp(t <X|Y>) pour des vecteurs aléatoires, inégalité de Markov, majoration de P(|Z| >= lambda) et existence, pour N <= exp(epsilon^2 n/4), de N vecteurs unitaires de paramètre de cohérence au plus epsilon.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Espaces vectoriels normés
• Bases de Python : expressions, types, instructions, fonctions
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres réels et suites numériques

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