Centrale-Supélec 2025 PSI Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2025, filière PSI, en 4 heures. Thème : Conditionnement d'une matrice et applications : norme sur M_n(R), matrices orthogonales et symétriques, inégalité de Kantorovich.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie A : construction d'une norme sur M_n(R). Application N(A), borne supérieure de ||AX|| sur la sphère unité : inégalité de Cauchy-Schwarz, propriétés de norme, question du rayon spectral rho, cas diagonal, sous-multiplicativité, norme des colonnes, puis invariance par matrice orthogonale et lien entre N(A) et rho(A) pour A symétrique, avec calculs explicites.
• Partie B : conditionnement d'une matrice pour la norme N. Définition cond(A) = N(A) N(A^(-1)) : minoration, effet d'un facteur scalaire et d'une matrice orthogonale, puis minoration de cond(A) pour une matrice bidiagonale à coefficients 1 et 2.
• Partie C : conditionnement pour une matrice réelle inversible. Matrices symétriques positives, relations N(A^T A) = N(A)^2 et N(A) = sqrt(rho(A^T A)), valeurs propres de AA^T et A^T A, formule de cond(A) avec les valeurs propres extrêmes de A^T A, cas des matrices symétriques définies positives.
• Partie D : calcul explicite de conditionnement. Éléments propres de la matrice tridiagonale T de coefficients 2 et -1, à l'aide des vecteurs de composantes sin(jk pi/(n+1)), puis valeur de cond(T).
• Partie E : inégalité de Kantorovich. Première démonstration par un produit scalaire associé à A, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, un polynôme P de degré 2 et un trinôme f. Seconde démonstration par une variable aléatoire Z à valeurs dans le spectre de A, espérances de Z et de 1/Z.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Espaces vectoriels normés
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Nombres complexes et trigonométrie
• Dérivabilité et convexité
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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