Centrale-Supélec 2026 PSI Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2026, filière PSI, en 4 heures. Thème : Obtention de piles successifs lors de lancers d'une pièce : fonctions génératrices, récurrences linéaires et réduction.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie A : les cas n = 1 et n = 2. Variable X_n, rang de la première apparition de n piles consécutifs. Loi, fonction génératrice, espérance et variance de X_1, puis récurrence linéaire sur P(X_2 = k), racines d'un trinôme, rayon de convergence d'une série entière, P(X_2 = +infini), fonction génératrice, espérance et variance de X_2.
• Partie B : le cas n = 3. Récurrence d'ordre 3 écrite U_(k+1) = M U_k, polynôme caractéristique de M et localisation de ses racines, diagonalisabilité sur C, expression de P(X_3 = k) avec une valeur propre réelle et deux conjuguées, équivalent de P(X_3 = k), puis cas particulier p = 3/4.
• Partie C : l'étude générale par le calcul de la fonction génératrice. Récurrence d'ordre n sur P(X_n = k), fonction f, majoration par récurrence de P(X_n = k), calcul de la fonction génératrice de X_n et de l'espérance, puis expression de P(X_n = k) à partir d'une décomposition admise de G_(X_n).
• Partie D : obtenir une succession de pile à la suite de lancers d'une pièce. Événement A_n,k d'au moins n piles consécutifs en k lancers : récurrence sur P(A_n,k), fonction Python qui renvoie la liste de ces probabilités, suite auxiliaire (u_k) décroissante, majoration géométrique, probabilité de la réunion des A_n,k, application numérique à 100 lancers et démarche pour une forme explicite.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Séries numériques et vectorielles
• Nombres réels et suites numériques
• Nombres complexes et trigonométrie
• Limites et continuité
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Bases de Python : expressions, types, instructions, fonctions
• Dérivabilité et convexité

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