Centrale-Supélec 2022 PSI Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2022, filière PSI, en 4 heures. Thème : Opérateur intégral sur un espace préhilbertien de fonctions, équation x(y'' - y') + py = 0 et séries entières.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : préliminaires, étude de quelques éléments de E. Espace E des fonctions continues sur ]0, +infini[ telles que l'intégrale de f^2(t) exp(-t)/t converge : appartenance des puissances, des polynômes, de a exp(t) + b et des fonctions k_x(t) = exp(min(x, t)) - 1, puis condition suffisante portant sur f' et étude d'une fonction auxiliaire Phi.
• Partie II : structure préhilbertienne de E. Convergence absolue de l'intégrale de f g exp(-t)/t, structure de sous-espace vectoriel, produit scalaire, limite de la norme de k_x en 0, intégrales de t^k exp(-t) et question de l'orthogonalité de la famille (p_n).
• Partie III : un opérateur sur E. Opérateur U(f)(x) = <k_x | f> : limite en 0 par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, expression intégrale, classes C^1 et C^2, équation y'' - y' = -f(x)/x, majoration ||U(f)|| <= 4||f||, injectivité, question de la surjectivité, puis intégration par parties sur un intervalle ouvert pour établir <f | U(g)> = <U(f) | g>.
• Partie IV : solutions d'une équation différentielle développables en série entière. Équation (E_p) : x(y'' - y') + py = 0, relation de récurrence sur les coefficients, existence et degré des solutions polynomiales selon p, expression de P à l'aide de la dérivée p-ième de x^(p-1) exp(-x), puis, pour p réel non nul hors de N*, minoration des coefficients et non-appartenance à E des solutions non polynomiales.
• Partie V : éléments propres de U. Question de la valeur propre 0, équation vérifiée par un vecteur propre, forme 1/p des valeurs propres possibles pour un vecteur propre développable en série entière, solutions polynomiales de (E_p) comme vecteurs propres et orthogonalité deux à deux des polynômes P_p.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Espaces vectoriels normés
• Équations différentielles linéaires
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Dérivabilité et convexité
• Séries numériques et vectorielles

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