Centrale-Supélec 2024 PSI Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2024, filière PSI, en 4 heures. Thème : Autour de la série harmonique et de la constante d'Euler : problème du collectionneur, expressions intégrales, fonction Gamma, valeur approchée et série entière des ln(n).

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : convergence de la suite (a_n). Équivalent de a_(n+1) - a_n, nature de la série associée, convergence de a_n vers gamma et développement asymptotique des sommes harmoniques.
• Partie II : application au problème du collectionneur de vignettes. Nombre N_n de tirages nécessaires pour obtenir n modèles équiprobables : lois de N_1 et N_2, décomposition en variables de loi géométrique, espérance et majoration de la variance, indépendance, puis limite de P(|N_n/(n ln(n)) - 1| > epsilon).
• Partie III : une première expression intégrale de gamma. Développement de 1/t en série sur ]0, +infini[, intégration terme à terme et expression de gamma par l'intégrale de exp(-t)(1/(1 - exp(-t)) - 1/t).
• Partie IV : une deuxième expression intégrale de gamma. Expression de a_n par deux intégrales à l'aide de (1 - u/n)^n, suite de fonctions, limite simple, domination, inégalité des accroissements finis et formule de gamma comme différence de deux intégrales.
• Partie V : deux autres expressions intégrales de gamma. Fonction Gamma : domaine, classe C^1, relation fonctionnelle, formule de Weierstrass admise, expression de la dérivée logarithmique, valeurs de la dérivée en 1 et en 2, et gamma comme intégrale de ln(-ln(t)).
• Partie VI : recherche d'une valeur approchée de gamma. Expression de gamma dépendant d'un réel A, somme d'une série à l'aide d'une intégrale, intégrations par parties sur l'intégrale de exp(-u)/u, polynôme R de degré 2 et majoration de l'erreur d'approximation.
• Partie VII : étude d'une série entière aux bornes de son disque ouvert de convergence. Somme f de la série des ln(n) x^n : rayon 1, comportement en 1 par comparaison à la série des sommes harmoniques, et limite en -1, égale à (1/2) ln(pi/2), à l'aide d'une série entière auxiliaire h dont on étudie la continuité en 1.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Dérivabilité et convexité
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Nombres réels et suites numériques

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