CNC 2019 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2019, filière MP. Thème : Déterminants de Cauchy et de Gram, distance à un sous-espace vectoriel et calcul d'un minimum.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : réduction et exponentielle d'une matrice. Matrice 3 x 3 à valeur propre unique, sous-espace propre, non-diagonalisabilité et trigonalisation, endomorphisme nilpotent u = v - 2 id, base de réduction et calcul de exp(A).
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• 1ère partie : calcul du déterminant de Cauchy. Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle à pôles simples, relation de récurrence entre Delta_n et Delta_(n-1) et formule produit du déterminant de Cauchy.
• 2ème partie : matrice et déterminant de Gram, expression de la distance euclidienne à un sous-espace vectoriel. Le déterminant de Gram est nul pour une famille liée et strictement positif pour une famille libre, par l'écriture G = tBB. Formule de d(x, F)^2 comme quotient de deux déterminants de Gram et exemple de la matrice min(i, j).
• 3ème partie : application au calcul d'un minimum. Produit scalaire intégral sur R[X], matrice de Gram de monômes vue comme matrice de Cauchy, distance de X^r à un sous-espace engendré par des monômes et minimum de l'intégrale de (1 - a_1 t - ... - a_n t^n)^2 sur [0, 1].

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

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