Prepa HelpCNC 2015 MP Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2015, filière MP, en 4 heures. Thème : Groupe spécial orthogonal, connexité par arcs et non-continuité de la diagonalisation.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie : résultats préliminaires. Description de U_2 par la condition Tr(A)^2 - 4 det A > 0, caractère ouvert, diagonalisation continue sur la partie où b est non nul, commutant d'une matrice diagonale à coefficients distincts et caractérisation de la conjugaison à une matrice diagonale.
- 2ème partie : quelques propriétés du groupe spécial orthogonal SO_n(R). Structure de groupe de O_n(R) et SO_n(R), paramétrage de SO_2(R) par l'angle, forme réduite par blocs d'une matrice orthogonale et chemin continu reliant toute matrice de SO_n(R) à I_n. On obtient la connexité par arcs de SO_n(R) et celle de l'orbite {UAU^(-1)}.
- 3ème partie : non-continuité de la diagonalisation dans tout l'ouvert U_2. On suppose une diagonalisation continue f_2 sur U_2 et on en tire, sur les matrices symétriques, une application continue à valeurs dans SO_2(R). L'orbite d'une matrice diagonale fournit alors une fonction trace continue sur un connexe par arcs, d'image {-2, 2} : c'est la contradiction.
- 4ème partie : non-continuité de la diagonalisation dans tout l'ouvert U_n pour n >= 3. Même schéma en dimension n : base orthonormée de vecteurs propres, application g_n à valeurs dans SO_n(R), ensemble fini D_n des matrices diagonales de SO_n(R) dont on calcule le cardinal, et contradiction par connexité.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Topologie des espaces vectoriels normés
- Structures algébriques usuelles
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