Prepa HelpCNC 2018 MP Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2018, filière MP. Thème : Réduction d'une matrice à deux coefficients, familles de vecteurs équiangulaires et résultat d'Aupetit sur les familles (x, f(x), ..., f^n(x)) liées.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice, 1ère partie : réduction d'une matrice. Matrice de diagonale a et de coefficients hors diagonale b : valeurs propres, sous-espaces propres, diagonalisation en base orthonormée, déterminant, polynôme minimal, inverse et racine carrée symétrique positive.
- Exercice, 2ème partie : application à l'étude d'une famille de vecteurs d'un espace euclidien. Pour n + 1 vecteurs unitaires de produits scalaires tous égaux à alpha, la matrice de Gram n'est pas inversible, d'où alpha = -1/n. Réciproquement, on construit une telle famille à partir d'une racine carrée symétrique et d'une isométrie.
- Problème, 1ère partie : un résultat utile sur les fractions rationnelles. Une fraction rationnelle bornée hors d'un ensemble fini n'a pas de pôle, donc est un polynôme. Le calcul de son intégrale sur un cercle fait apparaître les coefficients et montre qu'il est constant.
- Problème, 2ème partie : étude du cas n = 1 et applications. Si (x, f(x)) est liée pour tout x, f est une homothétie. Applications aux endomorphismes laissant stables droites ou plans, au centre de L(E) et aux matrices scalaires qui commutent à toutes les autres.
- Problème, 3ème partie : étude du cas général. Choix de x_0 de degré maximal p et polynôme P tel que P(f)(x_0) = 0, déterminant Delta(lambda) polynomial, coefficients alpha_k(lambda) rationnels et bornés par les valeurs propres via les formules de Viète et une norme subordonnée. Ils sont constants, d'où P(f) = 0.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Nombres complexes et trigonométrie
- Topologie des espaces vectoriels normés
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