Prepa HelpCNC 2018 MP Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2018, filière MP. Thème : Zéros des fonctions de Bessel d'indice entier : localisation, répartition et irrationalité.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie : étude de solutions des équations différentielles de Bessel d'indice entier. Passage à la forme y'' + sigma_n y = 0, recherche d'une solution développable en série entière, relation de récurrence sur les coefficients, rayon de convergence, définition de J_n et de G_n et première localisation des zéros de J_n.
- 2ème partie : quelques résultats utiles pour la suite. Dérivées et primitives de G_n avec des polynômes à coefficients entiers, G_n et G_n' sans zéro commun, théorème de relèvement pour une fonction C^1 à valeurs dans C* et intégration par parties itérée.
- 3ème partie : étude des zéros des solutions d'une équation différentielle d'ordre 2. Théorème de Cauchy linéaire, zéros isolés et en nombre fini sur un segment par Bolzano-Weierstrass. Pour y'' + psi y = 0 avec psi minorée, écriture polaire u = rho cos(theta) : les zéros forment une suite qui tend vers +infini, ce qui s'applique à J_n.
- 4ème partie : irrationalité des zéros de la fonction J_n de Bessel. Construction d'intégrales T_p à l'aide de polynômes de type Legendre, écriture avec des polynômes entiers Q_p et R_p et majoration par e^|x|/p!. Par un argument d'entiers, les zéros de G_n sont irrationnels, et si x est un zéro non nul de J_n, alors x et x^2 le sont aussi.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Équations différentielles linéaires
- Séries numériques et vectorielles
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Nombres complexes et trigonométrie
- Topologie des espaces vectoriels normés
- Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs
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