Prepa HelpCNC 2019 MP Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2019, filière MP. Thème : Intégrales de Gauss et variable à densité, séries de Fourier et résolution d'une équation aux dérivées partielles périodique.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice : un peu de probabilité. Intégrabilité de x^n exp(-x^2/2), récurrence par intégration par parties et valeurs explicites avec la loi normale. Densité x exp(-x^2/2) sur R+, espérance et variance de X, loi de Y = X^2 reconnue par sa fonction de répartition.
- 1ère partie : quelques résultats préliminaires utiles. Noyau de Dirichlet et sa forme close, propriétés des fonctions continues 2 pi-périodiques, lemme de Lebesgue établi pour les fonctions constantes, puis en escalier, puis continues par morceaux.
- 2ème partie : convergence normale de la série de Fourier d'un élément de C^k(R, C), k >= 2. Coefficients de Fourier d'une dérivée, sommabilité des c_n(f) et convergence normale pour f de classe C^2, théorème de Dirichlet pour f de classe C^1 et égalité de f avec la somme de sa série.
- 3ème partie : application à l'étude d'une équation aux dérivées partielles. Pour (n^6 a_n^2) sommable, construction de f de classe C^2 par Cauchy-Schwarz. L'équation d^2v/dx^2 + i dv/dt = 0 avec v(x, 0) = f(x) reçoit une solution somme d'une série normalement convergente, et l'unicité vient de l'équation y' + i n^2 y = 0 vérifiée par les coefficients.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Nombres complexes et trigonométrie
- Séries numériques et vectorielles
- Équations différentielles linéaires
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