CNC 2016 MP Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2016, filière MP, en 4 heures. Thème : Polynômes de Bernstein et théorème de Weierstrass, fonction génératrice des moments.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Problème 1, partie I : théorème de Weierstrass. Calcul des sommes des B_(n,k), kB_(n,k) et k^2 B_(n,k), dérivée de P_n(f) et conservation de la croissance, théorème de Heine, puis convergence uniforme de P_n(f) vers f sur [0, 1] et extension à un segment quelconque.
  À revoir : Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires, Limites et continuité
• Problème 1, partie II : une démonstration probabiliste du théorème de Stone-Weierstrass. Espérance et variance de S_n/n pour S_n binomiale, majoration par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et convergence uniforme de C_n(f)(x) = E(f(X_n)) vers f grâce à la continuité uniforme.
  À revoir : Limites et continuité
• Problème 1, partie III : applications. Fonction continue dont tous les moments sont nuls sur un segment, contre-exemple sur [0, +infini[ par le calcul de l'intégrale de x^n exp(-(1-i)x), approximation par des polynômes d'intégrale nulle, approximation d'une fonction C^1 et de sa dérivée, approximation par des polynômes positifs.
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Problème 2, partie I : cas particulier des variables aléatoires discrètes finies. Fonction M_X(t) = E(exp(tX)) et phi_X = ln(M_X)/t : prolongement en 0, dérivée en 0 liée à la variance, caractérisation de la loi par liberté des exponentielles, additivité pour des variables indépendantes, variables symétriques. Limite de phi pour la variable centrée réduite S_n*.
  À revoir : Dérivabilité et convexité
• Problème 2, partie II : cas des variables aléatoires discrètes réelles infinies. L'ensemble I_X est un intervalle contenant 0, cas de la loi de Poisson, puis classe C^infini de M_X par domination des dérivées de la série de fonctions et égalité E(X^k) = M_X^(k)(0). Application à l'espérance et à la variance de la loi de Poisson.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles
• Problème 2, partie III : cas des variables aléatoires à densité. Fonction génératrice d'une somme de variables indépendantes, existence des moments par la majoration |t^k| <= k! exp(s|t|)/s^k, développement de M_X en série et valeur des dérivées en 0.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Limites et continuité
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Dérivabilité et convexité
• Séries numériques et vectorielles

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