Prepa HelpCNC 2016 MP Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2016, filière MP, en 4 heures. Thème : Trace et formes linéaires sur M_n(R) : tout hyperplan contient une matrice inversible et une matrice orthogonale.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : étude de quelques propriétés de l'application trace. Trace comme forme linéaire, égalité Tr(AB) = Tr(BA), décomposition E = ker Tr + Vect(I_n). Étude de M -> M + Tr(M)I_n, diagonalisable, et de M -> M + Tr(M)J avec J de trace nulle, qui ne l'est pas.
- Partie II : un premier résultat préliminaire. Isomorphisme induit par une application linéaire sur un supplémentaire du noyau, choix de bases adaptées et mise de toute matrice de rang r sous la forme S J_(m,p,r) T^(-1).
- Partie III : un deuxième résultat préliminaire. Construction de la famille duale d'une base, coordonnées d'un vecteur, caractère libre et générateur, et dimension de l'espace dual.
- Partie IV : une caractérisation d'une forme linéaire sur E. Formes linéaires M -> Tr(AM) et isomorphisme A -> phi_A de E sur son dual, obtenu par le calcul de phi_A sur les matrices élémentaires.
- Partie V : tout hyperplan de E contient au moins une matrice inversible. Écriture d'un hyperplan H = ker(phi_B), réduction au cas d'une matrice de rang r normalisée et utilisation d'une matrice de permutation circulaire.
- Partie VI : tout hyperplan de E contient au moins une matrice orthogonale. Produit scalaire Tr(tM N), conjugaison par une matrice orthogonale, diagonalisation de la partie symétrique. Pour n pair, l'hyperplan contient une matrice orthogonale symétrique ; pour n impair, une famille P_alpha et l'équation a cos(alpha) + b sin(alpha) = c donnent une matrice orthogonale positive.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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