Prepa HelpCNC 2017 MP Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2017, filière MP, en 4 heures. Thème : Calcul de zeta(2), transformation de type Laplace et fonction génératrice d'une somme aléatoire.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice : calcul de la somme de la série de Riemann des 1/n^2. Sommes de cosinus par somme géométrique, limite de type Riemann-Lebesgue par intégration par parties, fonction g de classe C^1 et égalité somme des 1/n^2 = pi^2/6. Étude d'une série de fonctions phi et de sa limite en +infini.
- Problème 1, partie I : exemples. Appartenance à L et calcul de N_n pour exp(-alpha t), cos(omega t) et sin(omega t), où N_n(f)(x) est l'intégrale de f(t) exp(-nxt) sur R+.
- Problème 1, partie II : comportements asymptotiques. Limites de N_n(f)(x) et de x N_n(f)(x) en +infini et en 0 selon que f est bornée, de classe C^1 ou admet une limite en +infini, et limite d'une suite g_n lorsque f est intégrable.
- Problème 1, partie III : quelques propriétés de N_n. Stabilité de L par multiplication par t^m, classe C^infini de N_n(f) et expression de ses dérivées, puis formule de transformation d'une dérivée d'ordre k par intégrations par parties.
- Problème 1, partie IV : injectivité de N_n. Une fonction continue orthogonale à tous les monômes sur [0, 1] est nulle. Le changement de variable u = exp(-nt) y ramène l'annulation de N_n(f) aux entiers et donne l'injectivité.
- Problème 1, partie V : application au calcul de l'intégrale de Dirichlet. Existence de la limite de G, expression de N_n(g) à l'aide d'arctan et valeur de l'intégrale de sin(wt)/t sur R+.
- Problème 1, partie VI : application à la résolution des équations différentielles. Transformée d'une solution d'une équation linéaire d'ordre m à coefficients constants, exprimée par des fractions rationnelles, puis résolution de deux équations d'ordre 2 et d'un système différentiel avec conditions initiales.
- Problème 2, partie I : quelques propriétés de la fonction génératrice et quelques exemples. Domaine de G_X, lien entre dérivées en 0 et loi, cas des lois de Bernoulli, binomiale et géométrique, caractérisation de l'espérance et du moment d'ordre 2 par la dérivabilité en 1.
- Problème 2, partie II : la fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires. Somme S d'un nombre aléatoire N de variables indépendantes de même loi : espérance par conditionnement, formule G_S = G_N o G_X et égalité E(S) = E(N)E(X).
- Problème 2, partie III : application. Jet d'un jeton puis de N lancers d'un dé tétraédrique : loi, espérance et variance de S par calcul direct, puis retrouvées avec la fonction génératrice.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Nombres complexes et trigonométrie
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Limites et continuité
- Équations différentielles linéaires
Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.