CNC 2015 MP Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2015, filière MP, en 4 heures. Thème : Solutions de l'équation différentielle F'' = A(t)F et théorème de Liouville pour les fonctions harmoniques sur Z^d.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Problème 1, partie 1 : structure de l'ensemble Sigma_A. Passage de F'' = A(t)F au système d'ordre 1 x' = B(t)x, isomorphisme entre les deux espaces de solutions, dimension 2n de Sigma_A et existence et unicité d'une solution aux conditions initiales données.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Problème 1, partie 2 : quelques propriétés des solutions. Convexité de t -> ||F(t)||^2 sous l'hypothèse de positivité de A(t), solution nulle dès qu'elle s'annule deux fois, famille de solutions non bornées, puis deux normes sur Sigma_A dont on justifie l'équivalence.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés, Dérivabilité et convexité, Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Problème 1, partie 3 : comportement des solutions. Suites de solutions annulées en m, extraction d'une sous-suite convergente en dimension finie et convergence uniforme sur tout compact, d'où des solutions bornées. Sigma_A se décompose en deux supplémentaires de dimension n : hors de Sigma_1, ouvert dense, la norme de F tend vers l'infini.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés
• Problème 2, partie 1 : fonctions harmoniques sur le graphe Z^d. Pour d = 1, récurrence linéaire d'ordre 2 et dimension de l'espace des fonctions harmoniques sur Z et sur Z*. En dimension quelconque, inégalité f(l) <= (2d)^||l-k||_1 f(k) pour f positive, et conséquence : f nulle dès qu'elle s'annule en un point.
  À revoir : Suites récurrentes
• Problème 2, partie 2 : un résultat de Liouville dans un cadre discret. Marche aléatoire symétrique sur Z^d observée à un temps de Poisson U : existence des moments de f(Y_U) par le théorème de transfert et sommabilité, produit scalaire E(f1(Y_U) f2(Y_U)), fonction de norme maximale. On en déduit qu'une fonction harmonique minorée ou majorée est constante.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Équations différentielles linéaires
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Dérivabilité et convexité
• Suites récurrentes
• Séries numériques et vectorielles

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