Prepa HelpCNC 2013 TSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2013, filière TSI, en 4 heures. Thème : Matrices de Gram, équation X^2 + 3X = A et équations différentielles linéaires à coefficients constants d'ordre quelconque.
À savoir sur cette copie. Exemplaire numérisé : des annotations manuscrites figurent sur le sujet. Il sera remplacé dès que nous aurons une copie propre.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Premier exercice : matrice de Gram et application. La matrice G(u_1, ..., u_n) des produits scalaires s'écrit tM M : elle est symétrique positive, définie positive si la famille est libre. La matrice de coefficients min(i, j) en est un exemple, avec une factorisation tR R où R est triangulaire supérieure, qui sert à résoudre un système pour n = 4.
- Deuxième exercice : résolution de l'équation X^2 + 3X = A dans M_3(R). Diagonalisation d'une matrice A d'ordre 3 à trois valeurs propres distinctes, calcul de P et de son inverse. Toute solution B commute avec A, donc sa matrice dans la base propre est diagonale, ce qui donne les valeurs possibles et le nombre de solutions.
- Problème, 1ère partie : résultats préliminaires. Existence et unicité d'un polynôme R_1 de même degré que R tel que R_1' + a R_1 = R, par l'inversibilité d'une matrice triangulaire. Solutions de y' - l y = g lorsque g est un polynôme fois exp(l x) ou fois exp(m x), avec m différent de l.
- Problème, 2ème partie : expression des solutions de l'équation différentielle (E_P). Cas P = (X - l)^n, puis récurrence sur le degré à partir de la factorisation P = (X - l)Q. Pour P quelconque, les solutions sont les sommes de R_k(x) exp(l_k x) avec R_k de degré strictement inférieur à la multiplicité, et l'espace des solutions a pour dimension le degré de P. Deux exemples avec racines multiples.
- Problème, 3ème partie. Étude de l'espace E_f engendré par les translatées d'une fonction dérivable f. Lorsque E_f est de dimension 2, des taux d'accroissement et une matrice inversible montrent que f' appartient à E_f, puis que E_f est stable par dérivation, de sorte que f vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Équations différentielles linéaires
- Compléments d'algèbre linéaire
- Dérivabilité et convexité
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