Prepa HelpCNC 2017 TSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2017, filière TSI, en 4 heures. Thème : Exponentielle et logarithme de matrices, endomorphismes orthogonaux et distance à un hyperplan de polynômes.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Problème 1, partie I : exemple. Sur une matrice A d'ordre 2 diagonalisable, on définit exp(A) par une série de matrices, on la calcule par A = P D P^(-1), on vérifie que exp(A) exp(-A) = I, puis on obtient ln(exp(A)) par une autre série de matrices.
- Problème 1, partie II : étude de la matrice exp(A_a). La matrice A_a, nilpotente à une seule sous-diagonale, donne une somme finie E_a(t). On établit E_a(s + t) = E_a(s) E_a(t), l'inversibilité, l'injectivité de t -> E_a(t) via une famille libre de puissances, et on résout une équation en t.
- Problème 1, partie III : applications. Suites couplées à coefficients dépendant de n, limite des puissances n-ièmes de C_n écrite comme une rotation multipliée par un réel, résolution d'un système différentiel linéaire d'ordre 1 par diagonalisation et comparaison avec exp(tA).
- Problème 2, partie I : quelques propriétés d'un endomorphisme orthogonal. Bijectivité, spectre inclus dans {-1, 1}, caractérisations par le produit scalaire, les bases orthonormées et la matrice. L'endomorphisme symétrique f + f^(-1) fournit un sous-espace stable de dimension 1 ou 2, et l'orthogonal d'un sous-espace stable est stable.
- Problème 2, partie II : distance à un sous-espace vectoriel. Sur R_(m-1)[X] muni du produit scalaire défini par l'intégrale de P Q exp(-t) sur [0, +infini[, on étudie l'hyperplan F des polynômes nuls en 0. Le vecteur normal s'exprime à l'aide de l'orthonormalisée de Schmidt, puis on en déduit la projection orthogonale, la symétrie associée et les distances de 1 à F et à son orthogonal.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Séries numériques et vectorielles
- Compléments d'algèbre linéaire
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Équations différentielles linéaires
- Intégration sur un intervalle quelconque
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