CNC 2017 TSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2017, filière TSI, en 4 heures. Thème : Fonction définie par une intégrale à paramètre, somme des 1/n^2 et fonctions génératrices.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Problème 1, partie I : calcul de la somme de la série de Riemann des 1/n^2. Calcul des intégrales de (x^2/(2 pi) - x) cos(kx) sur [0, pi] et de la somme des cos(kx). Une intégration par parties donne la limite nulle des intégrales de psi(x) sin(mx), et un prolongement C^1 conduit à la somme pi^2/6.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Techniques fondamentales de calcul en analyse, Nombres complexes et trigonométrie
• Problème 1, partie II : domaine de définition, limites et continuité de f. Étude de f(x), intégrale sur [0, +infini[ de exp(-t)/(1 + x^2 t^2) : parité, continuité par une majoration du type lipschitzien, monotonie. Un changement de variable et un découpage en racine de x donnent la limite en +infini, un équivalent, puis la divergence de l'intégrale de f.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Limites et continuité
• Problème 1, partie III : dérivabilité de f. Majoration du taux d'accroissement de phi_t pour obtenir la dérivabilité de f et l'expression de f' sous forme intégrale. Calcul de la limite des intégrales d'une suite de fonctions w_n.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Dérivabilité et convexité
• Problème 1, partie IV : étude de quelques séries en relation avec phi_t. Encadrement des sommes partielles de f(k) par des intégrales, divergence de la série et équivalent par comparaison série intégrale. Convergence de séries d'intégrales et de fonctions, continuité et dérivabilité de la somme xi à partir des majorations précédentes.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque
• Problème 2, partie I : quelques propriétés de la fonction génératrice et quelques exemples. Définition de G_X sur [-1, 1], lien entre dérivées en 0 et loi, fonctions génératrices des lois de Bernoulli, binomiale et géométrique. Espérance et variance tirées des dérivées en 1, identification d'une loi à partir de sa fonction génératrice.
• Problème 2, partie II : la fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires. Pour une somme d'un nombre aléatoire N de variables indépendantes de même loi, formule de l'espérance totale, relation G_S = G_N o G_X et égalité E(S) = E(N)E(X).
• Problème 2, partie III : application. Expérience avec un jeton et un dé tétraédrique : lois conditionnelles et loi de la somme S, puis mêmes résultats retrouvés par les fonctions génératrices.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres complexes et trigonométrie
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Limites et continuité
• Dérivabilité et convexité

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