CNC 2019 TSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2019, filière TSI. Thème : Intégrales de Gauss et formule de Taylor avec reste intégral : séries, fonctions absolument monotones et équation y'''' = y.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : un peu de probabilité. Intégrabilité de x^n exp(-x^2/2) sur [0, +infini[, relation I_(n+2) = (n + 1) I_n par intégration par parties et valeurs explicites à l'aide de la loi normale. Étude de la densité x exp(-x^2/2) : espérance, variance et loi du carré de la variable.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque
• 1ère partie : formule de Taylor avec reste intégral ; application. Démonstration de la formule par intégrations par parties successives, puis application à ln(1 + t) pour obtenir la somme de la série des (-1)^(n-1)/n.
  À revoir : Dérivabilité et convexité, Techniques fondamentales de calcul en analyse, Séries numériques et vectorielles
• 2ème partie : application au développement en série entière d'une fonction absolument monotone. Pour une fonction C^infini sur ]-a, a[ dont toutes les dérivées sont positives, la majoration du reste R_n montre que f est somme de sa série de Taylor, d'abord sur [0, a[, puis sur ]-a, 0[.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Dérivabilité et convexité
• 3ème partie : étude d'une équation différentielle linéaire. L'ensemble des solutions de y'''' - y = 0 est un C-espace vectoriel. Les fonctions exp(l x) avec l^4 = 1 donnent une famille libre, et l'injectivité de l'application qui évalue en t_0 la fonction et ses trois premières dérivées, obtenue par une représentation intégrale, fixe la dimension à 4.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Compléments d'algèbre linéaire
• 4ème partie : application à l'étude d'une équation intégrale. Recherche des fonctions continues f telles que f(x) = x + (1/6) fois l'intégrale de (x - t)^3 f(t) sur [0, x]. Par dérivations successives, f vérifie y'''' = y ; les conditions en 0 donnent f(x) = (sin x + sinh x)/2, qu'on vérifie par synthèse.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Techniques fondamentales de calcul en analyse

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Dérivabilité et convexité
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Séries numériques et vectorielles
• Équations différentielles linéaires
• Compléments d'algèbre linéaire

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