CNC 2019 TSI Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2019, filière TSI, en 4 heures. Thème : Matrices non scalaires semblables à une matrice de diagonale (0, Tr A) ou (0, 0, Tr A), en dimensions 2 et 3.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• 1ère partie : étude de quelques exemples. Vérification de la propriété sur deux matrices : une matrice 2 x 2 diagonalisable, puis une matrice 3 x 3 à valeur propre unique, trigonalisable mais non diagonalisable, qu'on écrit dans une base de la forme (e_1, v(e_1), v^2(e_1)).
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• 2ème partie : une caractérisation des homothéties, application à l'étude de la propriété P en dimension 2. Un endomorphisme tel que (x, f(x)) soit liée pour tout x est une homothétie. Pour A non scalaire, il existe donc e tel que (e, u(e)) soit une base, ce qui rend A semblable à une matrice de diagonale (0, Tr A).
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire
• 3ème partie : démonstration de la propriété P dans le cas n = 3. Relations entre valeurs propres, trace, déterminant et polynôme caractéristique, puis disjonction selon les valeurs propres : trois distinctes, une double et une simple (u diagonalisable ou non), une triple. Chaque cas construit une base adaptée, avec des noyaux de (u - l id)^2, le cas n = 2 et des produits par blocs.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire, Déterminants

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Déterminants

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