e3a-Polytech 2025 MP Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2025, filière MP, en 4 heures. Thème : Extrema sous contrainte, transformation de Fourier discrète et série des x^n/(n!)^2.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : extrema sous contrainte. Extrema de x^2 + y^2 + z^2 + t^2 sur l'hyperplan affine x + y = 2 par trois méthodes : réduction à trois variables, condition d'extremum lié avec un gradient, puis distance à un sous-espace vectoriel et projection orthogonale.
• Exercice 2 : transformation de Fourier discrète. Endomorphisme de C_(n-1)[X] défini par les valeurs aux racines n-ièmes de l'unité : sommes de racines de l'unité, matrice et son inverse, puissance quatrième égale à l'identité, diagonalisabilité, sous-espaces stables et spectre.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Exercice 3 : série des x^n/(n!)^2. Fonction somme de la série entière : domaine, classe C^infini, caractère lipschitzien sur un segment, majorations et équivalent en 0, puis fonction définie par une intégrale de 1/(t f(t)^2) : signe, équivalent, limite finie en l'infini et majoration par ln(2) grâce à une décomposition en éléments simples.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Dérivabilité et convexité, Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Nombres complexes et trigonométrie
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Séries numériques et vectorielles
• Dérivabilité et convexité
• Intégration sur un intervalle quelconque

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