Prepa Helpe3a-Polytech 2026 MP Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2026, filière MP, en 4 heures. Thème : Opérateur de translation sur les polynômes, intégrale de sin(at)/(e^t - 1) et fonction ζ, fonction associée à une variable aléatoire finie.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : opérateur de translation sur C_(n-1)[X]. Endomorphisme P donne P(X + 1) : matrice des coefficients binomiaux, polynôme caractéristique, non diagonalisabilité, inverse et puissances, puis opérateur de différence nilpotent et relation entre les P(X + k).
- Exercice 2 : intégrale de sin(at)/(e^t - 1) et fonction ζ. Écriture de l'intégrale comme a fois la somme des 1/(a^2 + k^2) par intégration terme à terme, limite quand a tend vers l'infini, développement en série entière faisant intervenir les ζ(2n + 2), dérivées en 0, puis calcul de l'intégrale sur ]0,1[ de ln(t)/(t - 1).
- Exercice 3 : fonction associée à une variable aléatoire finie. Développements limités en question de cours, puis fonction construite à partir du logarithme de la somme des p_i e^(x_i t) : exemples, prolongement dérivable en 0, lien avec l'espérance, limites, parité et cas d'une somme de deux variables indépendantes.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Séries numériques et vectorielles
- Dérivabilité et convexité
- Limites et continuité
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