Prepa Helpe3a-Polytech 2024 MP Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2024, filière MP, en 4 heures. Thème : Loi d'une partie entière, série entière des cos(n)/n, matrice liée à sa transposée et produit de convolution.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : partie entière d'une variable géométrique. Loi de la partie entière de (X + 1)/2 lorsque X suit une loi géométrique : représentation graphique, valeurs prises, décomposition des événements et loi.
- Exercice 2 : série entière des cos(n)/n. La suite cos(n) ne tend pas vers 0, rayon de convergence égal à 1, somme obtenue à partir de la série géométrique des e^(in)x^n et de la dérivée, puis série des cos^2(n/2)x^n/n.
- Exercice 3 : matrice A telle que A^T = 3A^2 - A - I_n. Matrice symétrique positive associée, polynôme annulateur et sa factorisation, inversibilité, diagonalisabilité et valeurs propres, polynômes de Lagrange, puissances de A et convergence vers une matrice de projection.
- Exercice 4 : produit de convolution. Fonctions lipschitziennes et uniforme continuité, définition et commutativité du produit de convolution, convolution par une fonction créneau et créneau convolé avec lui-même, approximation de l'unité et norme subordonnée de l'endomorphisme h donne h * g.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Nombres complexes et trigonométrie
- Séries numériques et vectorielles
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Topologie des espaces vectoriels normés
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Limites et continuité
- Dérivabilité et convexité
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