Prepa Helpe3a-Polytech 2021 MP Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2021, filière MP, en 4 heures. Thème : Intégrale de x^(-x), inverse généralisé d'un endomorphisme symétrique, fonctions génératrices et formes linéaires sur R_n[X].
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : intégrale de x^(-x) sur [0,1]. Série de fonctions des (-1)^n (x ln x)^n / n! : convergence simple puis normale, étude de t ln t, fonction Gamma et calcul de Γ(n+1), intégration terme à terme pour obtenir l'intégrale de x^(-x) comme somme des n^(-n), et rang d'une approximation à 10^(-6).
- Exercice 2 : inverse généralisé d'un endomorphisme symétrique. Théorème spectral, noyau et image orthogonaux, décomposition spectrale par les projecteurs orthogonaux sur les sous-espaces propres, définition de l'inverse généralisé et caractérisation d'un problème de moindres carrés, puis calcul sur une matrice symétrique d'ordre 4.
- Exercice 3 : fonctions génératrices. Variables aléatoires de fonctions génératrices 1/(2 - t) et 2 - racine(2 - t) : développements en série entière, lois, loi de la somme, espérances et variances, avec une loi géométrique décalée.
- Exercice 4 : formes linéaires sur R_n[X]. Base de R_n[X] formée de 1 et des X^k(X - 1), forme linéaire intégrale sur [0,1], application primitive et noyau, puis base de l'espace des formes linéaires formée des P donne P^(k)(0)/k! et coordonnées de la forme intégrale.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Dérivabilité et convexité
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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