e3a-Polytech 2022 MP Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2022, filière MP, en 4 heures. Thème : Fonction Gamma et intégrale de Gauss, maximum de tirages uniformes, forme quadratique sur la boule unité et matrices circulantes.

Lire le sujet 8 pages · sujet sans corrigé, reproduit sans retouche−+Télécharger le PDF (0,3 Mo)

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : fonction Gamma et transformée de Gauss. Domaine et relation fonctionnelle de Gamma, valeurs aux demi-entiers, intégrales des t^(2n) exp(-t^2), puis calcul de l'intégrale de cos(xt)exp(-t^2) par développement en série entière et par une équation différentielle linéaire d'ordre 1.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles, Équations différentielles linéaires, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Exercice 2 : maximum de tirages uniformes. Sommes de Riemann en questions de cours, puis plus grand numéro obtenu en tirant une boule dans chacune de k urnes : loi, espérance par la somme des P(X_n > j) et équivalent quand n tend vers l'infini.
  À revoir : Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Exercice 3 : forme quadratique sur la boule unité. Inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité, maximum de la somme des x_i x_j (i différent de j) sur la boule unité, puis lecture matricielle avec la matrice J - I_n, ses valeurs propres et une base orthonormée de vecteurs propres.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Topologie des espaces vectoriels normés
• Exercice 4 : matrices circulantes. Racines n-ièmes de l'unité et produit des 1 - ω^k, matrice de permutation circulaire F : puissances, polynôme minimal X^n - 1 et diagonalisation, puis matrice A = P(F) : réduction, polynôme minimal, déterminant et inverse exprimé avec les puissances de F.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Équations différentielles linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Nombres complexes et trigonométrie

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.